Il calcolo tensoriale di Ricci-Curbastro e Levi-Civita
Il gigante della fisica e la sua confessione d’inesperienza. Alle prese con la Relatività generale, Einstein lotta per le proprie dimostrazioni ma alla fine riconosce il necessario aiuto di due grandi matematici padovani.
Quando mi viene chiesto per quale motivo abbia scelto di fare matematica, tendo a rispondere con sincerità: è la materia che mi veniva più facile e naturale, tanto da essere di per sé un’attività piacevole. Ma una delle domande che mi accompagna da quando ho cominciato a studiarla per il piacere di farlo riguarda «l’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali». Se spesso strumenti matematici potenti vengono sviluppati al fine di risolvere problemi fisici o ingegneristici concreti, non è sempre questo il caso.
Un ottimo esempio di come un metodo matematico astratto sia risultato cruciale addirittura nello studio della “legge del cielo” si concretizza nella storia di due italiani, Gregorio Ricci-Curbastro e il suo studente Tullio Levi-Civita.
Ricci-Curbastro nasce nel 1853 a Lugo di Romagna. Si laurea a Pisa nel 1875 con una tesi nell’ambito delle equazioni differenziali. Nel 1877 ottiene una borsa a Monaco di Baviera e nel 1880 è professore di Matematica all’Università di Padova. È in questo periodo che Ricci sposta il suo interesse verso la geometria differenziale, lo studio degli oggetti come curve e superfici tramite il calcolo differenziale, della cui potenza abbiamo avuto un assaggio nel numero 10 de La Tigre di Carta. Influenzato dall’opera di Gauss, Riemann e Christoffel, inizia nel 1884 il suo studio sulle forme differenziali quadratiche, sviluppando un metodo che gli permetterà di introdurre il concetto di “sistema” o “tensore”. Questi oggetti possono essere visti come una generalizzazione dei vettori (le “frecce” usate spesso in fisica, con lunghezza, direzione e verso), nel senso che una volta scelto un sistema di riferimento possono essere rappresentati da tabelle multidimensionali di numeri, o “coordinate”, le quali si trasformano secondo leggi ben definite al cambiare del sistema di riferimento. Il suo metodo prende nel 1893 il nome di “calcolo differenziale assoluto”, oggi chiamato calcolo tensoriale. Ricci presenta in dettaglio i suoi studi in quattro pubblicazioni tra il 1888 e il 1892, e nel 1899 le sue idee si fanno finalmente strada al di fuori dalla stretta cerchia padovana. Alla richiesta di Felix Klein, suo docente e in quel periodo direttore della rivista Mathematische Annalen, di esporre i campi di applicazione del metodo, Ricci risponde con la celebre memoria Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications, un testo di 76 pagine scritto a quattro mani con il suo allievo Tullio Levi-Civita e pubblicato nel 1900. Nato a Padova nel 1873, Tullio pubblica la sua tesi sotto la supervisione di Ricci-Curbastro a soli 22 anni, ottiene due anni dopo la cattedra di meccanica razionale e si dimostra un matematico estremamente eclettico, spaziando dalla teoria degli infinitesimi al problema dei tre corpi. Il lavoro del 1900 doveva essere un punto di arrivo, una rivoluzione della geometria. Ma la sua potenzialità non viene riconosciuta immediatamente dalla comunità scientifica. Ricci continua la collaborazione con Levi-Civita, ma il suo gruppo viene sciolto nel 1904.
Dall’alto Tullio Levi-Civita, Albert Einstein, Gregorio Ricci Curbastro
Qualche anno dopo, Albert Einstein, autore nel 1905 dell’articolo in cui viene elaborata la Relatività ristretta, sta lavorando a una teoria che possa sposare lo spazio-tempo con la gravitazione, ma gli manca una formalizzazione matematico da mettere alla base delle sue intuizioni fisiche. A Zurigo, nel 1912, chiede aiuto al collega Marcel Grossmann, che lo indirizza verso i lavori di Ricci e Levi-Civita. Quest’ultimo gli suggerisce in particolare lo studio della “covarianza generale”, ovvero delle leggi che rimangono immutate quando sottoposte a qualsiasi (opportuno) cambio di coordinate. Einstein stava cercando di esprimere gli effetti gravitazionali in termini puramente geometrici: in qualche modo la gravità doveva essere una proprietà intrinseca dello spazio-tempo e non una forza a esso esterna, come avviene nella descrizione newtoniana e nella Relatività ristretta. Ma affinché tutto ciò abbia senso le leggi fisiche che se ne traggono devono essere covarianti, indipendenti dalla scelta del sistema di riferimento (ovvero indipendenti dall’osservatore, se scelto in una maniera opportuna, che sta studiando quel pezzo di realtà), proprio perché riflettono una caratteristica propria della struttura dello spazio-tempo indipendente dal modo in cui noi la descriviamo[1].
Dalla collaborazione tra Einstein e Grossmann emerge nel 1913 un “abbozzo” (Entwurf) di una teoria della Relatività generale, dove l’ossatura matematica fornita da Grossmann si basa sui metodi presentati dai matematici italiani 15 anni prima. Lo stesso vale per l’articolo The Formal Foundation of the General Theory of Relativity del solo Einstein, pubblicato l’anno successivo, il quale è quasi per metà una sorta di trattato sui tensori e la geometria differenziale. Tuttavia qui Einstein sembra aver abbandonato la via proposta da Levi-Civita. Un punto cruciale è un teorema sulla base del quale Einstein cerca di argomentare che il “tensore gravitazionale” e le equazioni che esso soddisfa sono “covarianti” solo utilizzando sistemi di coordinate adattati (Angepaßte Koordinatensysteme) al campo gravitazionale. Levi-Civita legge attentamente l’articolo di Einstein, e non è convinto della dimostrazione. Seguono una dozzina di lettere, tra il marzo e il maggio 1915, in cui il matematico italiano spiega ad Einstein il motivo della fallacia della sua dimostrazione, e il fisico tedesco cerca di difenderla, incapace di abbandonare la sua posizione, spesso ripetendo le stesse argomentazioni. «Quando ho visto che Lei rivolge la sua obiezione contro la dimostrazione più importante della teoria, che mi è costata fiumi di sudore, mi sono spaventato non poco poiché so che Lei padroneggia queste cose matematiche molto meglio di me», scrive Einstein a Levi-Civita, ma «dopo un’attenta riflessione ritengo tuttavia di poter mantenere in piedi la mia dimostrazione». Ma alla fine il genio per antonomasia è costretto a gettare la spugna. «La mia prova è incompleta», scrive il 5 maggio: essa, che è un ingrediente essenziale, è solo congetturata, ma «non è dimostrata». Abbandonato il tensore gravitazionale del 1914, Einstein trovò la giusta via e il 25 novembre 1915 presentò la versione corretta delle sue equazioni del campo gravitazionale all’Accademia prussiana delle scienze.
È l’equazione così fondamentale eppure così «semplice» che Carlo Rovelli «non resiste a ricopiare» alla fine della sua prima lezione dell’ottimo Sette brevi lezioni di fisica. A prova della fondamentale importanza del lavoro dei due matematici italiani basti il fatto che il primo termine di tale equazione è proprio chiamato tensore di Ricci, essendo stato identificato da quest’ultimo nel contesto della geometria differenziale. Lo stesso Einstein ammise il ruolo cruciale del lavoro dei padovani in una lettera al nipote di Ricci, e volle congratularsi con quest’ultimo e ringraziarlo di persona: i due si incontrarono per la prima volta il 21 ottobre 1921 all’Università di Padova. In riconoscimento del lavoro di Levi-Civita, il dipartimento di Matematica della stessa Università ha preso il suo nome in una cerimonia il 25 novembre 2016, a cent’anni da quel carteggio con Einstein.
Senza il lavoro dei due matematici padovani, Albert Einstein non sarebbe forse mai riuscito a dirigere l’orchestra di idee che, disposte al loro giusto posto sotto la bacchetta del calcolo differenziale assoluto, hanno portato alla stesura della Relatività generale. Una teoria che assieme alla meccanica quantistica rimane oggi alle fondamenta della fisica moderna, ovvero della nostra comprensione della realtà intorno a noi.
Note
[1] Sia per la Relatività ristretta che per la Relatività generale, la nomenclatura mi pare a posteriori poco felice: di fatto le due teorie fanno perno precisamente su quelle proprietà o caratteristiche fisiche che relative proprio non sono e, anzi, sulle quali tutti sono e devono essere d’accordo!
