di Gabriele Pichierri
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Come reagire alla necessità di trovare definizioni dei numeri per giustificarne l’utilizzo pratico? Ecco gli “stratagemmi” con cui i matematici hanno costruito le dimostrazioni sulle spalle delle precedenti per far ascendere i significati e coprire i buchi e i pozzi concettuali.
Il tema di questo mese, legato all’ascendere diligentemente passo dopo passo, mi suggerisce l’Induzione Matematica, argomento che ho già brevemente citato in un numero precedente. L’accenno alla cautela e al movimento verso il sud proposto nella Sentenza richiede qui di fare un passo indietro, e riprendere questo interessante strumento per mostrare come si possa porre alla base delle definizioni dei numeri che usiamo tutti i giorni. L’I Ching sembra poi volerci avvertire del pericolo del Pozzo: anche i matematici hanno incontrato questa insidia poco dopo aver cominciato a contare, e solo recentemente hanno trovato una soluzione: riempire i buchi.
Tutti noi abbiamo fatto conoscenza con la matematica quando abbiamo cominciato a contare e riconoscere i numeri naturali: 1, 2, 3, 4, … (già più sottile è il ruolo del numero 0, la cui storia merita un articolo tutto suo). Lo stesso fece l’umanità intera, come testimoniano le più antiche tavolette d’argilla Babilonese, risalenti al 2000 a.C., su cui venivano incisi segni cuneiformi simboleggianti numeri naturali e operazioni aritmetiche. Eppure il concetto di numero naturale è stato definito in maniera soddisfacente solo nella seconda metà del ‘800; se ne occupò, tra gli altri, il matematico italiano che diede il nome ai 5 assiomi di Peano. L’uso di assiomi per costruire delle solide fondamenta alla base dell’edificio matematico ormai non ci sorprende: l’abbiamo già incontrato con Euclide nel 300 a.C. L’idea astuta è quella di costruire l’insieme dei numeri naturali con un procedimento ricorsivo basato sull’idea che ogni numero naturale debba avere un successore:
Assioma 1: Il numero 1 è un numero naturale.
Assioma 2: Il numero 1 non è il successore di nessun altro numero.
Assioma 3: Ogni numero naturale ammette un numero naturale successore.
Assioma 4: Due numeri naturali che hanno lo stesso successore sono lo stesso numero naturale.
Assioma 5: Un sottoinsieme di numeri naturali che ha le proprietà (A) di contenere il numero 1 e (B) di contenere il successore di ogni suo elemento, coincide con l’insieme dei numeri naturali.
È facile capire il significato di questi assiomi se si pensa all’uso che si vorrebbe fare dei numeri naturali: contare cose. Ad esempio, e qui la nomenclatura non è fortuita, i numeri in uscita della nostra rivista preferita; adagiamoli su un tavolo man mano che vengono pubblicati. Il primo e il secondo assioma affermano che è buona norma cominciare a contare da 1, e che una volta superato il numero 1 non ci possiamo più tornare. Il terzo Assioma afferma che, in linea di principio, nulla vieta che venga pubblicato un altro numero della rivista, e poi un altro ancora e così via: non c’è limite al numero di numeri. Il quarto assioma ci ricorda che, per contare degli oggetti, è consigliabile metterli in fila in modo che sia ben chiaro chi precede chi, quindi ci deve essere uno e un solo predecessore di ogni numero (salvo il primo naturalmente). Il quinto assioma è più sottile. Esso afferma che se si comincia dal numero 1 e si prosegue a contare saltando da un numero al suo successore (virtualmente per infinite volte), allora siamo sicuri di averli contati tutti; ovvero: la fila di numeri della nostra rivista non ne esclude nessuno, e non ci sono sul tavolo altre pubblicazioni indesiderate.
Incidentalmente, l’operazione di addizione di numeri naturali viene anch’essa definita come successiva applicazione “a balzi” del passaggio da un numero al suo successivo. Sommare 1 a un numero naturale significa prendere il successivo di tale numero, sommare 2 significa ripetere l’operazione due volte e così via, passo dopo passo. La moltiplicazione non è poi altro che una “addizione glorificata” a saltelli: moltiplicare un numero naturale per 5 significa prendere quel numero, sommarlo a se stesso una volta e… ripetere l’operazione per un totale di 5 volte.
Il quinto assioma porta in maniera estremamente naturale al sopra citato Principio di Induzione Matematica, che afferma: se supponiamo (A) che una affermazione sia vera per il numero 1 e (B) che se tale affermazione vale per un numero naturale allora vale per il suo successore, allora questa affermazione vale per tutti i numeri interi. Per dimostrare che questo è vero usando l’Assioma 5, basta applicarlo al sottoinsieme di tutti quei numeri naturali che verificano la affermazione in questione, il quale allora coincide con l’intero insieme dei numeri naturali. Nel numero Il Morso che Spezza abbiamo visto qualche esempio della potenza di questo strumento.
Un utilizzo altrettanto utile dell’induzione, ma che ha maggiormente catturato l’attenzione del pubblico, è quello delle definizioni per ricorrenza. Celeberrima è la successione di Fibonacci, che si ottiene cominciando con 1, 1, e si prosegue ottenendo il numero successivo sommando i due precedenti:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … , 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497, …
Un altro esempio è la definizione dei fattoriali dei numeri naturali, indicati con il simbolo “!”. Si comincia definendo il fattoriale di 1 ponendolo uguale a 1, ovvero 1!=1 per definizione, e poi per ogni numero naturale n maggiore di 1 si definisce n! come n moltiplicato per il fattoriale del numero precedente:
1!=1, n!=n (n-1)! per ogni n>1
Grazie al quinto assioma siamo certi che con una sola riga abbiamo definito il fattoriale per gli infiniti numeri naturali!
Dopo essersi divertiti con l’induzione applicata ai numeri naturali, i matematici si sono lasciati un po’ prendere dall’entusiasmo e sono riusciti ad applicarla all’intera classe di numeri, per costruirne una più ricca. In effetti, tutti gli insiemi numerici usati quotidianamente possono essere ottenuti in qualche senso induttivamente, l’uno costruito “sulle spalle” del precedente: i numeri interi a partire dai naturali, i numeri razionali a partire dagli interi, i numeri reali a partire dai razionali (e poi i numeri complessi a partire dai reali). Nel passaggio da un insieme numerico all’altro si ha una sorta di arricchimento. I numeri interi sono simili ai naturali in quanto ogni intero ha un successore, ma ogni numero intero ha anche un predecessore, mentre il numero naturale 1 non ce l’ha: guadagniamo i numeri negativi e la sottrazione può essere ben definita. Con i numeri razionali si introducono le frazioni (o rapporti) di interi, e la divisione diventa un’operazione sempre ammessa.
Qui entra poi in gioco un nuovo fenomeno bizzarro: tra due numeri razionali qualsiasi cade sempre un altro numero razionale (anzi in realtà ce ne sono di infiniti), ad esempio la media dei due numeri. Quindi sembrerebbe che non si possa davvero dire quale sia il successore di un dato numero razionale, almeno nel senso suggerito finora, cioè pensandoli distesi in un qualche ordine crescente su una retta. Siamo tutti d’accordo che il successore del numero intero 20 è 21, ma se qualcuno afferma che il razionale “che viene dopo” l’1 è un certo numero, si può sempre trovare altro razionale che si incastra a metà. Sorge dunque la domanda: è possibile elencare tutti i numeri razionali uno dopo l’altro, esattamente come i numeri in uscita di una rivista? La risposta paradossalmente è: sì. In termini più precisi, esiste una corrispondenza uno a uno tra i numeri razionali e i numeri naturali, per cui ad ogni numero naturale si associa uno e un solo numero razionale: questi ultimi possono essere contati proprio come si contano le copie di una rivista. In gergo si dice che i numeri razionali sono numerabili (l’inglese countable rende forse meglio l’idea). Questo va contro la nostra intuizione, perché ci verrebbe da dire che ci sono molti più numeri razionali che numeri naturali: i numeri razionali contengono al loro interno i numeri naturali! Eppure c’è una maniera molto semplice di convincersene. Organizziamo tutte le frazioni possibili di numeri naturali in una tabella come mostrato nella figura. Poi cominciamo ad elencare i numeri razionali nella seguente maniera: il primo numero è quello in alto a sinistra, cioè 1/1, a cui facciamo seguire il suo opposto -1/1 (per non dimenticarci dei numeri negativi). Poi ci muoviamo lungo la tabella seguendo la freccia: il prossimo numero è 2/1, e di nuovo gli facciamo seguire il suo opposto -2/1. Proseguiamo così seguendo le frecce. L’unica accortezza è di non contare gli stessi numeri due volte: ad esempio 2/2=1/1 quindi va escluso dal conteggio, e lo stesso vale per 3/3 eccetera. Proseguendo passo passo siamo sicuri di averli elencati tutti
Tutti questi insiemi numerici sono sì inscatolati uno nell’altro, ma ciascuno è costruito sulle spalle del precedente e finora sembra che non siamo riusciti a sbarazzarci di questa natura saltellante dei numeri. Torniamo a pensare ai numeri razionali come distesi su una retta in disposizione crescente. Essa ci appare in qualche modo “bucherellata”: ci sono tantissimi numeri a noi familiari, come la radice di 2, il pi greco, la sezione aurea eccetera, che non sono razionali ma sono irrazionali, numeri che non sono esprimibili come rapporto di numeri interi. Di più, tra due qualsiasi numeri razionali si trovano infiniti irrazionali, come un’infinità di Pozzi, che vanno diligentemente saltati se si vuole spostarsi da un numero razionale all’altro. Invece i numeri reali sono da questo punto di vista completi: non ci sono più voragini nella retta reale e non siamo più costretti a salterellare da un numero all’altro, potendo scivolare con continuità su di essa senza temere in alcun punto di precipitare giù. Comprendere appieno questo fatto non è per nulla banale. Il nome irrazionale deriva addirittura dai Pitagorici, che li hanno così battezzati per sottolinearne la natura sfuggente, e irragionevole ai loro occhi. Anche in questo caso si è dovuti aspettare il lavoro di un contemporaneo di Peano, Julius W. R. Dedekind, per sistemare la faccenda.
In questo articolo abbiamo provato a intuire la natura numerabile e saltellante di alcuni insiemi numerici; sarà argomento di una prossima uscita il passaggio dal numerabile al continuo.
